被撬开的数论之谜

发布者:湖北数据与分析中心发布时间:2016-05-27浏览次数:10

数论是纯粹数学的分支之一,主要研究整数的性质。而整数的基本元素是素数(也称质数),所以数论的本质是对素数性质的研究。数论被高斯誉为“数学中的皇冠”。因此,数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题,叫做“皇冠上的明珠”,以鼓励人们去“摘取”。当数论研究获得了多项突破性进展,这让数学界感到万分惊喜。


发现已知的最大素数


美国中央密苏里大学数学家柯蒂斯·库珀领导的研究小组通过参加一个名为“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目,于1月25日发现了目前已知的最大素数——

257885161-1 (即2的57885161次方减1)。该素数是第48个梅森素数,有17425170位;如果用普通字号将它连续打印下来,其长度可超过65公里!美国数学学会发言人迈克·布林宣称:这是数论研究的一项重大突破。


研究小组在大约1000台大学里的计算机上运行GIMPS的软件,每台计算机都不间断地用了39天时间证明257885161-1是个素数。之后其他研究者也独立验证了这一结果。近年来,库珀通过参加GIMPS项目一共发现了3个梅森素数。


寻找梅森素数已成为发现已知最大素数的最有效途径。如今世界上有180多个国家和地区近28万人参加了GIMPS项目,并动用超过79万台计算机联网来寻找新的梅森素数。梅森素数是否有无穷多个?这是一个尚未破解的著名数学谜题。


证明“弱孪生素数猜想”


美国新罕布什尔大学数学家张益唐经过多年努力,在不依赖未经证明推论的前提下,率先证明了一个“弱孪生素数猜想”,即“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”。2013年4月17日,他将论文投稿给世界顶级期刊《数学年刊》。美国数学家、审稿人之一亨里克·艾温尼科评价说:“这是一流的数学工作。”他相信不久会有很多人把“7000万”这个数字“变小”。


尽管从证明弱孪生素数猜想到证明孪生素数猜想还有相当的距离,英国《自然》杂志在线报道还是称张益唐的证明为一个“重要的里程碑”。由于孪生素数猜想与哥德巴赫猜想密切相关(姐妹问题),很多数学家希望通过解决这个猜想,进而攻克哥德巴赫猜想。


值得一提的是,英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德曾提出一个“强孪生素数猜想”。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对,而且还给出其渐近分布形式。中国数学家周海中指出:要证明强孪生素数猜想,人们仍要面对许多巨大的困难。


解开“弱哥德巴赫猜想”


5月13日,秘鲁数学家哈拉尔德·赫尔弗戈特在巴黎高等师范学院宣称:证明了一个“弱哥德巴赫猜想”,即“任何一个大于7的奇数都能被表示成3个奇素数之和”。他将论文投稿给全球最大的预印本网站(arXiv);有专家认为这是哥德巴赫猜想研究的一项重大成果。不过,其证明是否成立,还有待进一步考证。


赫尔弗戈特在论证技术上主要使用了哈代-李特尔伍德-维诺格拉多夫圆法。在这一圆法中,数学家创建了一个周期函数,其范围包括所有素数。1923年,哈代和李特尔伍德证明,假设广义黎曼猜想成立,三元哥德巴赫猜想对充分大的奇数是正确的;1937年,苏联数学家伊万·维诺格拉多夫更进一步,在无须广义黎曼猜想的情形下,直接证明了充分大的奇数可以表示为3个素数之和。


英国数学家安德鲁·格兰维尔称,不幸的是,由于技术原因,赫尔弗戈特的方法很难证明“强哥德巴赫猜想”,即“关于偶数的哥德巴赫猜想”。如今数学界的主流意见认为:要证明强哥德巴赫猜想,还需要新的思路和工具,或者在现有的方法上进行重大的改进。


作者:郑辉  新加坡南洋理工大学教授

via:中国科学报